پارادوکس های زنو

هر روزه هزاران انسان با وسایل نقلیه جا به جا می شوند و به کارهایشان می رسند ، ولی ما می دانیم که اگر انسان ها حرکتی نکنند هرگز جابجایی صورت نمی گیرد. این در حالیست که با اینکه آنها حرکت نمی کنند و در وسیله نقلیه شان ثابت نشسته اند ولی جابجا می شوند . !

پارادوکس در منطق به  احکامی ظاهراً درست گفته می‌شود که تناقضی را به وجود می آورند یا با شهود مطابقت نمی‌یابند. در عین حال به جملات متناقض و حتی مخالف که یک حقیقت واحد را بیان می‌کنند نیز پارادوکس می‌گویند.

پارادوکس های زنون( یا تضادهای  زنو ) را فیلسوف یونانی، در ۲۴۰۰ سال پیش مطرح نمود که نامش “زنو” بود . این مساله در تایید نظریه “همه چیز یکی است” فیلسوف بزرگ یونانی “پارامندیس” طرح شده است . در این بخش به برخی از این پارادوکس ها می پردازیم .

خرگوش هرگز به لاک پشت نمی رسد

خرگوش از لاک پشت خیلی تندتر می دود. لاک پشت و خرگوش با یکدیگر مسابقه می دهند. خرگوش چون خیلی به سرعتش مطمئن است به لاک پشت ۱۰۰ متر آوانس می دهدانگاره ما بر این است که خرگوش ۱۰ برابر لاک پشت سرعت دارد. . حال مسابقه آغاز شده است و  خرگوش صد متری را که آوانس داده بود طی می کند ،پس لاک پشت ۱۰ متر از او جلوتر است. وقتی خرگوش ۱۰ متر بعدی را می دود لاک پشت کماکان ۱ متر از او جلوتر است. وقتی خرگوش یک متر دیگر پیش می رود لاک پشت همچنان ۱۰ سانتی متر از او جلوتر است.. این دنباله تا بی نهایت پیش می رود و هرگز خرگوش از لاک پشت جلو نمی زند. در حالی که ما در پستوی ذهنمان می دانیم که خرگوش برنده این مسابقه است ولی با توجه به این منطق نمی توانیم آن را ثابت کنیم.

حال به راحتی مساله آشیل و لاک پشت حل می شود :

اگر لاک پشت با سرعت V متر بر ثانیه، از d متر جلوتر حرکت خود را شروع، و آشیل حرکت خود را با سرعت xV متر بر ثانیه ( x > 1 )  شروع کرده باشد، آشیل d/xv ثانیه وقت دارد تا به نقطه شروع حرکت لاک پشت برسد. در همین مدت زمان، لاک پشت d/x متر حرکت کرده است. حال آشیل در مدت d/x^2 ثانیه این مسافت(d/x) را طی می کند. در همین مدت لاک پشت d/x^2 متر حرکت کرده و الی آخر. بنابراین زمانی که طول می کشد آشیل به لاک پشت برسد با سری هندسی زیر تعریف می شود :

 تا زمانی که حاصل بالا مقداری محدود داشته باشد، آشیل می تواند به لاک پشت برسد.

مشابه همین مساله پارادوکس دوم نیز حل می شود :

اگر مرد نصف حرکت را در h ثانیه طی کند،  نصف دیگر را در h/2 ، بعدی را در h/4 و الی آخر …پس طبق رابطع زیر ۲h ثانیه طول می کشد تا فرد به مقصد برسد:

حال یک مثال عینی می آوریم :

فرض کنید لاک پشت ۱۰ متر جلوتر از آشیل قرار گرفته و سرعت حرکت آن ۱ متر بر ثانیه است.آشیل هم ۱۰ متر بر ثانیه سرعت دارد !…

بنابراین بعد از ۱ ثانیه آشیل به نقطه شروع لاک پشت می رسد و لاک پشت ۱ متر طی کرده و جلوتر از اوست. بعد از ۰٫۱ ثانیه آشیل این مسافت را نیز طی می کند ولی لاک پشت ۰٫۱ متر جلوتر از اوست. بعد از ۰٫۰۱ ثانیه آشیل این مسافت را طی کرده ولی لاک پشت ۰٫۰۱ متر جلوتر از اوست …مثل اینکه آشیل هیچ وقت نمی تواند به لاک پشت برسد … اما حتی اگر تعداد این مراحل برای رسیدن به لاک پشت نامحدود باشد ولی زمانی که برای این کار وجود دارد محدود بوده و برابر۹/۱۰ = ۰.۰۰۱+ ۰.۰۱+۰.۱+۱است. بنابراین آشیل ده نهم متر بعد از نقطه شروع لاک پشت به آن می رسد !

شیپوری که طولی نامحدود ، حجمی محدود و مساحتی نامحدود دارد

شیپور گابریل با رسم نمودار y=1/x و دَوَران آن حول محور x ها ،  ایجاد می‌شود. با استفاده از تکنیک‌های حساب دیفرانسیل که محاسبه مساحت و حجم اجسامی را که با این روش ساخته می‌شوند را ممکن می‌کند، می‌توان دید که این شیپور با طول نامحدود، در واقع حجمی محدود و برابر با عدد π دارد، اما مساحت آن نامحدود است !

این واقعیت به این معناست که این شیپور می‌تواند حجم بخصوصی از رنگ را در خود نگه دارد، ولی با استفاده از این رنگ باید بتوان مساحتی بی‌نهایت را رنگ زد! چیزی که از ذهن همه ما دور است .

واژه هایی که خودشان را شرح نمی دهند!

یکی دیگر از پارادوکسهای شناخته شده این گونه واژگان هستند  . مانند واژه فعل ، که نشان دهنده بخشی از جمله است که عامل و کننده کاری است ولی خود واژه فعل ، فعل نیست بلکه یک اسم است . بر خلاف آن واژه اسم ، هم راستا با معنی خود اسم است . نشانه ای دیگر نیز واژه طولانی است که با وجود معنایی که دارد ولی یک واژه طولانی نیست ولی واژه کوتاه هم مسیر با معنای خود و کوتاه است .

به بیان دیگر، مجموعه‌ای از اشیاء که شامل خود نیستند، خود را در بر می‌گیرند یا خیر؟ با ایجاد چنین «مجموعه‌های خود مخربی»، برتراند راسل اهمیت ایجاد قوانینی دقیق برای مجموعه‌ها را رساند که در ریاضی قرن بیست به آن توجه شده است.

پارادوکس برداری

در پارادوکس برداری، زنون از ما می خواهد تا برداری در حال پرواز را تصور کنیم.  سپس از ما می خواهد تا زمان را به لحظه های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. در هر کدام از این لحظه ها ، وقتی به بردار نگاه کنیم، ثابت است و نمی تواند در این زمان های بی نهایت کوچک حرکتی کند . با اینکه حرکت در زمان حال انجام گرفته است ولی نمی توانسته در زمان حال، گذشته یا آینده اتفاق افتاده باشد! پس در تمام زمان ها بردار بی حرکت است و حرکت نمی تواند اتفاق بیافتد.

پارادوکس های زیادی هستند که اینگونه ذهن را به چالش می کشانند، به طور مثال پارادوکسی که به وجود موجودات فضایی در سیاره های دیگر یقین می بخشد .

اشتراک گذاری

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *